got through to

（ついに）〜に伝わった / 〜を説得できた

「get through to someone」は、苦労して努力した結果、最終的に誰かとコミュニケーションを成功させたり、相手に自分の意図を理解させたり、受け入れさせたりすることを指します。ここでは、ジーナが子供たちと打ち解け、プログラムに参加させることに成功したことを意味します。