SIGN OFF ON

〜を承認する / 署名して同意する

「sign off on」は、正式に何かを承認したり同意したりすることで、通常は署名によって確認します。ここでは、テリーが射撃に合格すれば、ジーナが署名して彼の銃の再携帯を承認できる、という意味です。