he's after

他想要 / 他追求的是

`be after something/someone` 是一个常见的短语，表示「追求、想要、试图得到」某物或某人。这里 Ned Stark 的妻子 Catelyn 猜测国王 Robert 大老远来北境「所为何事」，指的就是国王想要达成某个目的。