a king's demand

王の命令で / 王の要求に応じて

`demand` はここでは名詞で、「要求、命令」を意味します。`on a king's demand` は「王の要求に応じて」または「王の命令で」という意味です。ここでは、ネッドに、彼の父と兄もかつて王の命令で南下したことを思い出させ、ネッドも忠誠を尽くすべきであることを示唆しています。