he's after

彼が求めているのは / 彼が狙っているのは

`be after something/someone` は「～を追い求める、～を欲しがる、～を得ようとする」という意味のよく使われるフレーズです。ここでネッド・スタークの妻キャトリンは、ロバート王がはるばる北の地にやって来た「目的」を推測しており、王が何か目的を達成しようとしていることを指しています。