babysitting

子守 / 面倒を見る (n./v. -ing)

ここでは比喩的に使われており、文字通りのベビーシッターの仕事ではなく、誰かのそばにいて監視する（まるでベビーシッターのように）という意味です。よく使われる表現に`babysit` / `babysitting`があります。